Penggunaan Rantai Markov Pada Prediksi Link Suatu Website

SV. Aris Gunawan, S.Pd
Modul Seminar Matematika|Universitas Sebelas Maret Surakarta - 2008
Internet (interconnected network) bukanlah sesuatu yang asing lagi bagi setiap orang sekarang ini. Dengan internet berbagai kebutuhan manusia bisa dipenuhi dengan lebih mudah. Sebagai ilustrasi, kebutuhan manusia seperti transaksi, komunikasi, informasi dan lain-lain dapat dilakukan dengan mudah lewat komputer yang telah tersambung dengan jaringan internet. Internet merupakan jaringan global yang terbentuk dari ribuan bahkan jutaan lebih komputer yang biasa disebut network of networks. Di dalam internet sendiri terdapat fasilitas-fasilitas atau layanan yang cukup banyak, seperti electronic mail (e-mail), internet relay chat (IRC), file transfer protocol (FTP), telnet, dan world wide web (www).

World wide web atau yang lebih dikenal dengan web dapat didefinisikan sebagai kumpulan sumber atau informasi yang dihubungkan dengan hyperlink melalui server Hypertext Transfer protocol (HTTP). Web adalah ruang informasi yang cukup popular dalam internet. Pemakai web dituntun untuk menemukan informasi melalui penggunaan teknologi hypertext. Hypertext adalah teks yang mempunyai kaitan dengan dokumen yang lain. Penggunaan teknologi hypertext memungkinkan pemakai menemukan informasi dengan mengikuti link yang disediakan dalam dokumen web yang ditampilkan web browser. Secara teknis, web terdiri dari dua bagian utama, yaitu:
1. web browser
web browser atau yang sering disebut browser, merupakan program aplikasi atau software yang beroperasi di setiap komputer yang menyediakan fasilitas untuk membaca halaman web.
2. Web server
Web server adalah suatu program (dan juga mesin yang menjalankan program) yang mengerti protocol HTTP dan dapat menanggapi permintaan-permintaan dari web browser.

Suatu browser mengambil sebuah halaman web dari server dengan sebuah protocol HTTP yang berisi alamat halaman, misalnya http://www.yahoo.com. Browser seperti mozilla firefox dan internet explorer berkomunikasi melalui jaringan dengan sebuah server. Browser akan meminta dokumen tertentu atau layanan lain yang disediakan oleh server. Kemudian server memberikan dokumen atau layanannya jika tersedia.

Menurut Olston dan Chi (http://citeseer.ist.psu.edu/zhu02using.html, 17 April 2008) terdapat dua prinsip dalam pencarian informasi dalam web, yaitu penelusuran dan pencarian dengan kata kunci. Pencarian dengan kata kunci sangat popular untuk mencari secara cepat halaman yang memuat informasi yang lebih spesifik. Sebaliknya, penelusuran sangat berguna ketika pencarian dengan kata kunci sulit diterapkan. Hal ini karena berbagai macam alasan seperti, pemakai mungkin masih kurang paham akan apa yang dipilihnya, dan beberapa kompleksitas tugas pencarian yang sukar diformulasikan dengan kata kunci. Penelusuran sendiri tidak efisien untuk mencari lokasi yang lebih spesifik karena pemakai secara seksama menuntun dirinya sendiri. Sebaliknya, pencarian dengan kata kunci seringkali mengembalikan halaman yang tidak tepat dan menghilangkan konteks yang tampil pada hasil pencariannya. Dengan menggabungkan penelusuran dan pencarian dengan kata kunci serta memudahkan transisi di antara keduanya maka pemakai dapat menemukan informasi yang diinginkan secara lebih efektif dan efisien.

Masalah yang sering dialami pemakai adalah efektifitas dan efisiensi dalam pencarian informasi yang termuat dalam halaman-halaman web. Terlebih lagi sebagian besar web mempunyai jumlah halaman yang sangat banyak. Hal ini mengakibatkan pemakai harus lebih teliti untuk memilih halaman yang memuat informasi yang dibutuhkan. Informasi tentang pemakai web seperti ketertarikannya yang diindikasikan dengan halaman-halaman yang telah dikunjungi dapat digunakan untuk memprediksi halaman-halaman yang mungkin diminatinya. Kumpulan dari kunjungan atau permintaan pemakai terhadap suatu dokumen dalam server terekam dalam web log files.

Web log files biasanya memuat alamat Internet Protocol (IP) komputer yang meminta dokumen, identifikasi pemakai, tanggal dan waktu permintaan, Universal Resource Locator (URL dari dokumen yang diminta, status yang mengindikasikan sukses tidaknya suatu permintaan yang diakses oleh pemakai, ukuran dokumen yang ditransfer, URL yang berkaitan, nama dan versi browser dan sistem operasi yang digunakan.

Di dalam web terdapat halaman-halaman yang dihubungkan dengan suatu link. Saat seorang pemakai mengunjungi suatu halaman dan menekan link untuk menghubungkan halaman berikutnya tersebut hanya bergantung pada halaman dimana link berada. Sifat tersebut dalam statistika sama dengan rantai markov dimana barisan distribusi bersyarat dari X(tn) untuk nilai X(t1), X(t2),…,X(tn-1). Dengan kata lain, sifat rantai markov pada suatu n tergantung hanya pada sifat waktu n-1. jadi hanya web yang terdapat link yang menghubungkan antar halaman saja yang dapat diaplikasikan dengan rantai markov.

Dengan meninjau kebiasaan kunjungan pemakai web sebagai rantai Markov maka dapat dibangun suatu model Markov yang terekam dalam web log files. Rantai Markov adalah proses Markov yang mempunyai ruang state (state space) diskrit (Parzen, 1962: 189) selanjutnya model Markov digunakan sebagai prediksi link untuk menentukan halaman most probably to-be-visited (MPT) dalam m langkah berikutnya yang kemudian direkomendasikan kepada pemakai dalam menelusuri web dan mencari informasi yang dibutuhkan secara lebih efektif dan efisien.

DOWNLOAD ARTIKEL

SEJARAH BILANGAN

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks.

Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih dapat diperluas.

Demikian sejarah singkat bilangan samapi pada bilangan real. Mudah-mudahan bermanfaat.

Peta Pikiran Tentang Bentuk Akar

Setelah kita memahami tentang bentuk bilangan eksponensial, kita lanjutkan belajar tentang bilangan akar. Kasarnya, bilangan akar adalah kebalikan dari bilangan pangkat (eksponen). Untuk lebih memahami tentang bilangan akar, berikut peta pikiran bagaimana untuk memahaminya.

DOWNLOAD versi pdf

Peta pikiran materi Bentuk Pangkat (Eksponensial)

Untuk lebih memudahkan mempelajari bentuk eksponensial, saya sajikan peta pikiran tentang eksponensial.

DOWNLOAD  materi versi pdf

DOWNLOAD Latihan Soal

Tinjauan Geografis Sejarah Matematika

Mesopotamia

• Menentukan system bilangan pertama kali
• Menemukan system berat dan ukur
• Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji

Babilonia

• Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
• Penemu kalkulator pertama kali
• Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
• Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
• Geometrinya bersifat aljabaris
• Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
• Sudah mengenal teorema Pythagoras

Mesir Kuno

• Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
• Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
• Mengenal tripel Pythagoras
• Sistem angka bercorak aditif dan aritmatika
• Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

Yunani Kuno

• Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
• Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
• Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
• Hipassus penemu bilangan irrasional
• Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
• Archimedes membuat geometri bidang datar
• Mengenal bilangan prima

India

• Brahmagyupta lahir pada 598-660 AD
• Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran 
• Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal 
• Brahmagyupta menemukan bilangan negatif 
• Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal

China

• Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
• Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
• Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubik dan qualitik
• Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 

Ide Awal Tentang Bentuk Pangkat (eksponensial)

Ide awal adanya sistem pangkat (eksponensial) adalah memudahkan dalam menyatakan suatu bilangan. Ketika kalian menemui bilangan 20 dengan mudah tentu kaliah akan membilang bilangan tersebut adalah "dua puluh", ini sama mudahnya ketika kalian membilang 50.000.000 (lima puluh juta) bukan? Nah, sekarang coba bayangkan seandainya kalian mempunyai bilangan seperti ini : 23.500.000.000.000.000.000.000. hmm...susah kan membilangnya, nah bentuk bilangan sepanjang itu bisa dipersingkat penulisannya dengan bentuk pangkat menjadi  2,35 x 10²² (bentuk ini selanjutnya dinamakan bentuk ilmiah) diperoleh dari mencacah berapa banyak bilangan disebelah kanan tanda desimal (koma).

lebih mudah mana menurut kalian? 

agar lebih lancar dalam memakai bentuk pangkat coba kalian kerjakan soal berikut 
DOWNLOAD SOAL